Как быстрее вычислять?

Абак и счеты. Долгое время счет для людей оставался трудным занятием. Значительно легче было считать на пальцах рук и ног, которые стали как бы первой счетной машиной. Постепенно люди придумали немало хитроумных способов счета при помощи не только пальцев, но и суставов. Однако так можно было выполнять некоторые действия лишь с небольшими числами. С развитием хозяйственной деятельности человек стал оперировать большими числами, используя однородные предметы: камешки, ракушки, орехи, бобы и т. п. Для удобства подсчета в употребление вошли специальные доски, на которых раскладывали эти предметы и пересчитывали их.

Со временем доски для подсчета стали расчерчивать на несколько полос или колонок. Это позволило вести счет с помощью однородных предметов значительно быстрее. Например, чтобы сложить числа 231 и 156, не надо было брать такое же количество предметов. Достаточно было положить в первую колонку 1 предмет, во вторую — 3, в третью — 2. Затем в таком же порядке под этими предметами раскладывали число 156. Подсчитав число предметов в каждой отдельной колонке (в первой их было 1 + 6=7, во второй 3+5=8, в третьей 2+1=3), можно было определить сумму 387.

Так люди пришли к изобретению абака — счетной доски, которая многие сотни лет в разных странах помогала экономить время в действиях с большими числами.

Абак за время своего существования постепенно совершенствовался. Первоначально это была доска, посыпанная тонким слоем мелкого песка или порошком из голубой глины. На ней простой палочкой можно было писать буквы, числовые знаки, чертить фигуры, а при необходимости все это стирать. Такой доской обычно пользовались при обучении. От порошка, покрывающего доску, вероятно, и произошло само название абак. Это слово имеет корень - бак, что в переводе с древнееврейского языка на русский означает «песок, прах, пыль».

Для практических подсчетов абак расчерчивали линиями на полосы или колонки. Впоследствии колонки вверху дужками объединяли в группы по три. Каждая такая группа представляла собой определенный класс (числовой). Такое усовершенствование позволяло быстрее прочитывать числа, выложенные на абаке.

Предполагают, что древние вавилоняне пользовались абаком с колонками, соответствующими шестидесятеричной системе счисления.

Имеется упоминание о том, что в Греции абак существовал уже в V в. до н. э. На древней вазе сохранилось изображение грека, считающего на абаке. Археологи прошлого века при раскопках нашли старинный абак. Он имеет вид мраморной плиты размером 105 см х75 см с высеченными на ней линиями.

При дальнейшем усовершенствовании абака стали пользоваться специально изготовленными кружками или квадратиками — жетонами. Позже (в I в. до н. э.) вошли в употребление «меченые жетоны», т. е. кружки или квадратики с проставленными на них цифрами (метками). Такие жетоны называли апексами.

Древние римляне пользовались абаком в виде доски или особого столика, крышка которого была разделена на полосы или колонки. Вверху каждой колонки стояли знаки, указывающие разряд чисел — единицы, десятки, сотни и т. д.

Пользовались, хотя сравнительно недолго, абаком и народы Индии. Десятичное позиционное счисление и нумерация, разработанные в Индии, позволяли выполнять действия письменно. Свои вычисления индийцы делали на песке, поэтому они отказались от абака, расчерченного на колонки, а пользовались простой доской, покрытой слоем песка. На таком приборе было удобно не только записывать числа, но и без труда заменять одну цифру другой, если это требовалось при вычислениях.

Арабы, переняв абак у индийцев и переселившись на запад после завоевания Испании (VIII в.), продолжали считать на абаке значительно дольше индийцев. От западных арабов (начиная с X в.) абак переняли народы Европы.

Абак, а точнее его близкий собрат — счетная скамья, которая на нескольких языках (немецкий, итальянский и др.) называется «банка», дала повод назвать учреждение, в котором производят разнообразные денежные операции, словом банк.

В Древней Руси при счете также применяли приборы, близкие к абаку. Первоначально они, по-видимому, были позаимствованы у римлян или греков, но впоследствии усовершенствованы на свой лад. О том, что у нас считали на абаке, говорит крылатое выражение «остался на бобах». Надо полагать, это выражение сложилось при игре, когда выигрыш и проигрыш подсчитывался на абаке с помощью бобов. Тот, кто, проиграв, отдавал все свои деньги, оставался только с бобами, на которых считал, т. е. «оставался на бобах».

Считая на абаке, числа нередко откладывали особыми костями. Такой способ у нас называли «счет костьми». Несколько позже на Руси получил широкое распространение «дощаный счет». Этот прибор состоял из ряда шнуров с нанизанными на них косточками.

Впоследствии этот прибор стали делать в виде рамы с рядом стержней, на каждом из которых был нанизан десяток костей. В XVI в. этот прибор уже имел вид русских счетов, которые были значительно совершеннее абака и поэтому употребляются и в наши дни.

Русские счеты после войны с Францией (1812) были завезены пленными во Францию и получили распространение в Европе.

Своеобразные приборы, похожие на наши счеты, но более сложные, применялись с давних пор в Китае и Японии.

Счет на линиях. Европейские математики в XIII в. разработали счет на линиях, позаимствовав приемы счета на абаке.

На листе бумаги, разделенном на две части, проводили несколько параллельных отрезков с промежутками в 2—5 см. Число откладывали с помощью кружков или жетонов, пользуясь пятеричной системой счисления. Жетон, расположенный на нижней линии, означал 1, а жетон, лежащий между первой и второй линиями, означал 5. Жетон на второй линии означал 10, а жетон, лежащий выше этой линии, — 50. На третьей линии жетон означал 100.

Жетон, положенный выше третьей линии, но ниже четвертой, уже означал 500 и т. д. На рис. показано, как отложить на линиях число 367.

На одной половине листа выкладывали первое число, а на другой — второе. Выполняя сложение, складывали жетоны, расположенные на одном отрезке или в одном и том же промежутке между линиями. Результат сложения записывали или выкладывали также на линиях в нижней части листа. В Западной Европе лишь в XVI в. счет на линиях стал вытесняться «счетом пером» — письменными вычислениями.