Язык пространства: топология. Сферы, сети и узлы

Когда месье Юло, комический персонаж из кинофильма, после долгих попыток понять, куда ведет запутанный шланг, возвращается к крану, на который тот надет, зрительный зал разражается хохотом. Почему? Нелепым выглядит и совет домашним хозяйкам из лондонской газеты «Таймс»: «Чтобы починить скатерть, положите ее на стол дырой вверх...» Оба этих эпизода противоречат нашим интуитивным представлениям о топологии - разделе математики, изучающем не формы и размеры, а гораздо более фундаментальные свойства тел и пространства.

Сферы, сети и узлы. То, что любой шланг независимо от его длины и кривизны имеет два конца,-топологический факт. Мы также уверены, что независимо от размеров скатерти и очертаний дыры скатерть нельзя расстелить на столе дырой вниз. Топология формализует наши интуитивные представления о возможном и невозможном в пространстве и наделяет их математической строгостью. Она занимается изучением таких свойств тел, которые не меняются при любых, сколь угодно сильных деформациях. Так, с точки зрения тополога, любое геометрическое тело без дыр неотличимо от шара, поскольку, если бы оно было вылеплено из мягкой глины, то из него можно было «скатать» шар, не разрывая глины. Иногда топологию называют «геометрией на куске резины».

«Всякая замкнутая кривая без самопересечений делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, и линия, соединяющая эти области, пересекает граничную кривую нечетное число раз» (А). Эта теорема верна не для всех поверхностей. Стол и статуя (Б) топологически неотличимы от шара, для которого теорема справедлива. Но стул и тело человека имеют сквозные отверстия (у человека- пищеварительный тракт) и топологически неотличимы от бублика (В), для которого теорема неверна.

Пуговица с четырьмя отверстиями с точки зрения топологии отлична от шара. Это четырехсвязное тело: чтобы превратить его в топологический шар, необходимо сделать 4 разреза. Если бы на поверхности «пуговицы» обитали некие мельчайшие существа, то они обнаружили бы, что их пространство отлично от поверхности сферы. Любая замкнутая кривая на сфере делит ее поверхность на две части: внутреннюю

и внешнюю. На пуговице все обстоит иначе. Замкнутая кривая, охватывающая любое из отверстий, не делит поверхность пуговицы на две части. Основная задача тополога состоит в том, чтобы определить, являются ли топологически эквивалентными те или иные абстрактные объекты (многомерные тела или пространства). При изучении топологии даже сравнительно простых фигур интуиция нередко подводит.

Но этот, казалось бы, странный раздел математики тесно связан с реальным миром. Например, электрическая цепь-понятие топологическое, поскольку существенно не расположение ее элементов в пространстве, а связи между ними. Топология графов (раздел топологии, занимающийся изучением сетей) имеет первостепенное значение при проектировании сложных электрических цепей. С топологией мы сталкиваемся в ткацком деле и вязании. Заузленная петля остается заузленной («не развязывается») при любых деформациях. Топологически она отличается от незаузленной петли. Текстильщики упражняются в топологии, пытаясь создать ткани с особыми топологическими свойствами, которые, например, можно связать целиком из одной нити или которые не «ползут» при обрыве одной нити.

Линии на карте- схеме Лондонского метро сильно искажены по сравнению с реальными путями. Тем не менее каждой точке путей соответствует точка на схеме, и любые две точки, соединенные на карте, соединены в действительности: схема и лондонская «подземка» топологически эквивалентны.

Планировка старинного Кёнигсберга породила задачу, которая привела к топологической теории графов: можно ли обойти все семь мостов так, чтобы ни один не проходить дважды? В 1734 г. Эйлер, анализируя эту задачу, разработал теорию уникурсальных сетей-графов (граф задачи изображен на плане Кёнигсберга), которые можно вычертить, не отрывая пера от бумаги и не проходя ни одно звено дважды. Оказалось, что один мост всегда приходится пройти дважды

Площадка для математических игр. Но настоящая топология -пока еще не нашла широкого применения на практике (ни один из ее разделов не связан с производственной деятельностью так тесно, как, например, арифметика с банковским делом) и по-прежнему остается «площадкой для игр» теоретиков. Теоремы топологии, хотя они и доказаны вполне строго, не находят столь прямых приложений, как, скажем, теоремы геометрии.

Одна из теорем топологии, например, утверждает, что для правильной раскра ски плоской карты (раскраска считается правильной, если области, имеющие общую границу, не окрашены в один цвет) достаточно не более 5 красок. Теорема не говорит о том, как правильно раскрасить карту 5 красками, но утверждает, что это можно сделать. Недавно было доказано, что для правильной раскраски достаточно 4 красок. Согласно другой теореме, как бы энергично мы ни размешивали чай ложечкой, в любой момент времени по крайней мере одна точка в жидкости остается в покое. Тополога не интересует, как найти эту неподвижную точку, он лишь доказывает, что она существует. В пространствах различных типов справедливы различные теоремы: так, в жидкости, текущей внутри трубы, может не быть ни одной неподвижной точки. Для правильной раскраски карты на поверхности бублика достаточно не более 7 красок, а на листе Мёбиуса-не более 6.

Эти муравьи Эшера демонстрируют свойства листа Мёбиуса: муравьи ползут по одной стороне листа движутся по противоположным его сторонам. Лист, дважды перекрученный на пол-оборота, имеет две стороны. Число перекручиваний определяет число сторон неожиданным эффектам при разрезании листа Мёбиуса вдоль оси. Топология позволяет исследовать и описывать такие пространственные отношения.

Лист Мёбиуса, названный так в честь немецкого астронома и математика Августа Мёбиуса (1790-1868), противоречит интуитивным представлениям о том, что лист бумаги имеет 2 стороны. Сделать его можно из полоски бумаги, перекрученной на пол-оборота и склеенной в кольцо. Это кольцо имеет лишь одну сторону, в чем нетрудно убедиться, если вдоль листа провести линию, нигде не пересекающую его край, так чтобы концы ее сомкнулись. Если вы разрежете лист Мёбиуса вдоль проведенной линии, то вас ждет новая неожиданность.

Искривленное пространство. Топологи изучают также искривленные пространства, размерность которых больше двух. Представить такие пространства наглядно весьма трудно. Топологически вполне возможно, что Вселенная, как и лист Мёбиуса, «перекручена» на пол-оборота. В такой Вселенной путешественник, возвратившись из дальних уголков космоса, оказался бы «зеркально отраженным»: сердце у него будет не слева, а справа. Левая перчатка, отправленная в дальний рейс на космическом корабле, после возвращения превратилась бы в таком случае в правую.

«Волосатый шар» нельзя причесать гладко: либо остаются две «макушки», от которых шерстинки расходятся в разные стороны, либо в одной точке шерстинка будет стоять дыбом, либо шар окажется причесанным «на пробор». Теорема о причесывании «волосатого шара» показывает, как можно согласовать направления на сфере. Применительно к магнитным силовым линиям это означает, что существуют два магнитных полюса. Если речь идет о воздушных течениях на поверхности земного шара, то из теоремы следует, что где- то на земном шаре ветер не дует.