Шансы и вероятность. Как определить вероятность

Некий бизнесмен, обеспокоенный усилением терроризма на авиалиниях, обратился за консультацией к математику. «Не беспокойтесь,-сказал тот-Существует 1 шанс из 1000, что бомба окажется на борту самолета». «Да, но мне приходится так много летать»,-возразил бизнесмен. «Возите с собой бомбу,— посоветовал математик,- существует лишь 1 шанс из 1000 000, что на борту самолета окажутся 2 бомбы».

Как определить вероятность. Приведенный анекдот основан на элементарном, но распространенном заблуждении, связанном с теорией вероятностей. Если вероятности двух независимых событий известны (например, равны 1/1000), то вероятность того, что произойдут оба события, равна произведению вероятностей (в нашем примере 1/1000000). Но события непременно должны быть независимыми: вероятность одного события не должна изменяться в зависимости от того, произойдет или не произойдет другое.

Правило умножения-одна из двух основ теории вероятностей. Другая «основа» - правило сложения. Если известны вероятности двух взаимоисключающих событий (например, выпадение 2 и 3 очков при бросании игральной кости: 2 и 3 не могут выпасть одновременно), то вероятность того, что произойдет либо одно, либо другое событие равна сумме их вероятностей: 2 или 3 очка выпадут с вероятностью 1/б + 1/б = 1/3 так как вероятность каждого из этих событий равна 1/6.

Если людей в группе больше, чем дней в году, то по крайней мере у двух из них дни рождения совпадают. Утверждать, что в группе, состоящей, например, из 60 человек, дни рождения у кого-то непременно должны совпадать, было бы опрометчиво: в группу могут входить люди, дни рождения которых приходятся, скажем, на все дни июня и сентября. Тем не менее можно вычислить, с какой вероятностью следует ожидать совпадения дней рождения в группах из 2, 3, 4 и т. д. человек. Как видно из графика, при численности группы 60 человек и выше вероятность совпадения близка к 1.

Эти два правила позволяют решить большинство задач теории вероятностей. В основе их лежит своего рода вероятностная «атомистическая теория», согласно которой каждое случайное событие состоит из множества элементарных равновероятных событий. Чтобы найти вероятность событий, необходимо вычислить, какая комбинация элементарных событий приводит к благоприятному исходу.

Но понятие элементарного события требует осторожного обращения. Ошибочность многих умозаключений связана с неправильным выбором элементарных событий. Какова, например, вероятность того, что на Марсе водятся мартышки? Либо они водятся, либо нет-об этом можно спорить, так как на Марсе никто не бывал,-обе взаимоисключающие ситуации в принципе равновероятны. Следовательно, с вероятностью 1/2 каждое из двух утверждений истинно, и существует 50 шансов из 100, что на Марсе водятся мартышки.

Более тонкий вопрос: какова вероятность выпадения одного «орла» и одной «решки» при двух бросаниях монеты? Можно рассуждать так. Существуют только 3 возможных исхода: два «орла», «орел» и «решка», две «решки». Благоприятен только один из них, и его вероятность равна 7з- Но такое рассуждение не верно. В действительности имеются 4 равноправных элементарных события: ОО, OP, РО и РР (О-«орел», Р-«решка»). Благоприятны 2 из них. Следовательно, вероятность выпадения «орла» и «решки» равна 1/2.

Подсчет шансов на успех. В математике шансы оцениваются в пределах от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие). Если из 7 элементарных событий 2 благоприятны, то шансы на успех составляют 2/7 = 0,2857 (28,57%). Смысл этих величин интуитивно ясен, если события происходят многократно. В серии из 7000 испытаний при шансах на успех 2/7 можно ожидать около 2000 благоприятных исходов. Когда элементарные события ясны и понятны (например, при бросании монеты, игральной кости и т.д.), теория вероятностей позволяет однозначно оценить шансы любого исхода. В спорте и в деловых операциях оценка шансов на успех субъективна.

Подброшенная монета падает вверх либо «орлом», либо «решкой». Вероятность выпадения «орла» и «решки» при каждом бросании одинакова -1,2. Если монета выпадает «орлом» раз подряд, то многие склонны думать, что и в девятый она упадет так же. Но при любом бросании шансы выпадения «орла» и «решки» остаются теми же.

Оценкой шансов на успех того или иного предприятия занимается специальный раздел теории игр. В детской игре один из участников должен угадать, в какой руке зажал пуговицу его товарищ. Какую стратегию лучше всего, избрать тому, кто прячет пуговицу? Если держать пуговицу всегда в одной и той же руке или менять руки поочередно, то партнер вскоре отгадает тактику. Теория игр доказывает, что лучшая стратегия состоит в случайной смене рук (например, в зависимости от исхода бросания монеты). Это полностью гарантирует «держателя пуговицы» от ошибок: даже если партнер разгадает стратегию, то за длинную серию испытаний он выиграет не больше, чем проиграет.

Рациональнее ли планировка американского города Солт-Лейк-Сити (А) планировки старинного Кракова (Б)? Чтобы пересечь город по диагонали, вы должны пройти сумму двух катетов, даже если идете зигзагом. Теория вероятностей показывает, что добраться из одной точки города в другую бывает легче, идя по случайно выбранным прямым (В); это удобно при планировке, подобной краковской.

Но если за пуговицу, угаданную в правой руке, причитается вдвое большее вознаграждение, чем за пуговицу, угаданную в левой руке, то партнер, указывая в длинной серии испытаний только на правую руку, может в среднем выиграть больше, чем проиграть. В этой ситуации теория игр рекомендует тому, кто держит пуговицу, менять руки не равновероятно, а в отношении 2:1 в пользу левой руки.

Теорию игр часто используют для решения конфликтных ситуаций типа тех что возникают, например в военном деле или экономике. С особой осторожностью понятие вероятности следует применять к одноразовым событиям, которые либо происходят, либо не происходят.

Цепочка элементов, каждый из которых должен работать, чтобы функционировала вся система, менее надежна, чем отдельные ее звенья. Так, цепочка из 10 элементов (А) (каждый с надежностью 99%) имеет надежность лишь 90%. Один из способов повышения надежности - дублирование (Б). При параллельном соединении двух цепочек вероятность срабатывания по крайней мере одной из них равна 99%. Еще лучше «запараллелить» каждый элемент (В), когда каждая пара - и вся цепочка - срабатывает с вероятностью 99,9%. Этот принцип использован в тормозной системе автомобиля (Г). Нажатие педали 1 перемещает поршень в цилиндре 2. Три тормоза срабатывают даже при утечке тормозной жидкости.