Формы и симметрия. Симметрия природы

Если в гостинице два номера выходят окнами на одну и ту же сторону и обставлены одинаково, то и стоят они одинаково. Если бы стоимость их была различна, то один постоялец недоплачивал бы, что абсурдно. Эта изящная теорема, сформулированная канадским юмористом Стивеном Ликоком (18691944), поясняет смысл математической идеи симметрии.

С понятием симметрии мы встречаемся повсюду. Две половины пролета моста, крылья птицы или самолета, лопасти винта обладают симметрией-в противном случае одна составляющая из них меньше соответствовала бы своему назначению, что абсурдно. Математики знают много различных типов симметрии, описываемых группами реальных или воображаемых операций симметрии, в результате которых «носитель» симметрии внешне остается неизменным.

Квадрат, куб или четырехлопастный винт можно повернуть на 90° так, что они будут неотличимы от самих себя в исходном положении: как говорят, они обладают осью симметрии 4-го порядка. Предмет неправильной формы имеет наинизший порядок симметрии, поскольку любой поворот его заметен. Сфера обладает симметрией наивысшего порядка: как бы мы ни поворачивали ее, она во всех положениях не отличается от исходной. Именно поэтому древние греки считали сферу совершенной фигурой, именно поэтому она широко применяется и поныне.

Устройство шарикоподшипников столь просто потому, что, как бы ни были ориентированы шарики, подшипник не заклинивает. Цилиндрические ролики обладают симметрией более низкого порядка. Чтобы удерживать их оси параллельными оси подшипника, необходимы специальные обоймы. Еще более низким порядком симметрии обладают конические ролики.

Реальный объект или математическая структура обладают симметрией, если они остаются неизменными под действием «операции симметрии». Если бутылку (А) повернуть на 90° вокруг вертикальной оси, то внешне она будет выглядеть, как и прежде. Поскольку четырехкратное повторение этой операции симметрии приводит к полному повороту, ось называется осью вращения 4-го порядка. Бутылка обладает и другими «элементами симметрии»: четырьмя плоскостями отражения. Бутылка с этикеткой (Б) не имеет оси вращения. Единственный элемент симметрии, которым она обладает,- плоскость симметрии. Псевдобутылка (В) обладает новыми элементами симметрии: горизонтальной плоскостью симметрии Н, четырьмя лежащими на ней осями вращения 2-го порядка и центром отражения I. При повороте вокруг любой из осей на 180° бутылка внешне остается неизменной.

Симметрия природы. Снежинка может служить примером симметрии в природе: угол между гранями снежинки составляет 120°, потому что в молекуле воды два атома водорода образуют угол около 120° с вершиной в атоме кислорода. Кристаллическая решетка льда состоит из множества таких молекул, расположенных с удивительной правильностью, и отражает их симметрию.

Снежинка в целом обладает осью симметрии 6-го порядка. Но каким образом каждый луч снежинки «узнает» о том, как растут другие, не отстает от них и не опережает? Физик Сэмюэл Толанский высказал предположение, что

падающая снежинка, на которую из холодного воздуха осаждаются водяные пары, колеблется в соответствии с симметрией своей кристаллической структуры. Все ее лучи движутся и изгибаются в едином сложном ритме.

Симметрично протекающие процессы широко распространены в природе. Радиальные трещины в разбитом оконном стекле выдают симметричные напряжения, распространяющиеся по радиусам от точки удара.

Обычная морская звезда обладает плоскостями симметрии и 1 осью вращения 5-го порядка (это самая высокая симметрия среди животных). Ее предки, по-видимому, имели более низкую симметрию. Об этом свидетельствует, в частности, строение личинок звезды: они, как и большинство живых существ, в том числе человек, обладают лишь одной плоскостью симметрии. Морские звезды не имеют горизонтальной плоскости симметрии: у них есть «верх» и «низ».

Абстрактная симметрия. Математика описывает симметрию при помощи теории групп. Самое удивительное состоит в том, что в теории групп в отличие от теории чисел а х b не всегда равно b х а. Это отсутствие симметрии в математической теории симметрии может показаться абсурдом, но в действительности порядок событий иногда существен. Например, если дверь сначала зачистить наждачной шкуркой, а затем выкрасить, то результат получится иным, чем в том случае, если сделать наоборот.

Группа симметрии любого предмета состоит из операций, которые можно производить над ним: поворотов на 90°, отражений в плоскости и т.д. Возьмем четырехгранную бутылку и поставим ее так, чтобы горлышко было обращено вверх, а одна из граней «смотрела на нас». Повернув бутылку на 90° от нас, а затем на 90° против часовой стрелки в горизонтальной плоскости, мы переведем ее в горизонтальное положение горлышком налево. Повернув затем на 90° по часовой стрелке в вертикальной плоскости, мы возвратим ее в положение, неотличимое от исходного. Все выполненные нами повороты вместе образуют одну операцию симметрии. Но если сначала проделать последний поворот, а затем два первых (в той же последовательности), то бутылка перейдет в горизонтальную плоскость и будет обращена к нам донышком: а х b не совпадает с b х а.

Молекула этана состоит из 2 атомов углерода (синие шары) и 6 атомов водорода (зеленые шары) и обладает центром отражения /, но две группы СН_з не переходят друг в друга при отражении относительно плоскости, проходящей посередине между ними. Если группы СН_з повернуть в согласованные положения, то молекула этана обретет плоскость симметрии, но утратит центр инверсии. Молекулярная симметрия и ее изменения играют важную роль в теоретической химии.

Симметрия относительно обращения времени - один из наиболее парадоксальных физических законов - означает, что любой процесс может протекать в обратном направлении. Если снять на кинопленку столкновение нескольких бильярдных шаров (А) и просмотреть фильм в «прямом» и «обратном» порядках, то их невозможно будет отличить: в обоих случаях события не противоречат законам физики. Но, например, бросание камня в пруд при обращении выглядит неправдоподобно. Тем не менее в принципе хаотические движения молекул могли бы сообщить камню скорость, направленную вверх, и вытолкнуть его из воды. Аналогично световые лучи в принципе могли бы повернуть вспять и, поменяв местами оригинал и изображение и не сбив наводку на резкость, превратить фотоаппарат в проектор (Б).

Применения теории групп. Теория групп-одно из многих созданий математики XIX в, нашедших широкое применение в науке. Быстрое распространение странной, но всемогущей групповой «арифметики» в физике XX в. снискало ей среди физиков старшего поколения титул «групповой чумы». Теория групп-неотъемлемая часть современной физики и химии, исследующих тонкие симметрии молекул и кристаллов и их энергетических состояний. Полупроводниковая электроника отчасти также обязана своим появлением теории групп.

В естественнонаучных теориях и математике существует множество симметрий. Так, в электродинамике два типа электрических зарядов (положительные и отрицательные) легко разделяются, тогда как разделить полюсы магнита (северный и южный) невозможно. Чтобы восстановить симметрию, физики занимались поиском магнитных монополей, но безуспешно. Самую смелую идею симметрии высказал Альберт Эйнштейн: скорость света должна быть одинаковой для всех наблюдателей независимо от того, с какой скоростью они движутся. Это «симметрийное» утверждение позволило впоследствии создать атомную бомбу и приступить к разработке ядерных реакторов.

Почему зеркало меняет «правое» на «левое», а не «верх» на «низ»? Вопрос, способный поставить в тупик. Но дело в том, что зеркало в действительности меняет местами не «правое»-«левое» и не «верх»-«низ», а «переднее»-«заднее». Руки (А), как и другие парные органы человеческого тела, зеркально симметричны. Одна рука называется «правая», а другая - «левая»; правой руке соответствует (в зеркале) левая и наоборот.