Решение простейших алгебраических задач
Решать простейшие алгебраические задачи люди научились в далекой древности. Еще в Древнем Вавилоне и Египте существовали зачатки числовой алгебры. Однако общих приемов решения алгебраических задач не было даже у древних греков.
Один из последних александрийских ученых — Диофант (III в.) в своих исследованиях далеко продвинулся в развитии алгебры. Он сформулировал основные ее правила и классифицировал уравнения. Диофант нашел ряд остроумных частных случаев решения довольно сложных задач. Он придумал несколько символов для обозначения алгебраических выражений и применял их в своей практике. Но сочинения Диофанта долго оставались неизвестными для математиков более позднего времени.
В разработку первоначальных представлений по алгебре значительный вклад внесли индийские жрецы (брахманы). Математические знания в Индии развивались в тесной зависимости от астрономии, которой особенно увлекались в древнее время. Это увлечение привело к тому, что ученые Индии достигли высоких результатов в разнообразных вычислениях.
По найденной Бахшалайской рукописи, которая написана на 70 полосах березовой коры, можно судить о знаниях в математике индийцев III—IV вв. В то время в Индии уже была известна десятичная позиционная система счисления и нумерации. Целые числа индийцы записывали как дробь со знаменателем 1. Вместо равенства употребляли слово пхалам, а при записи обозначали его первым слогом этого слова — пха. Неизвестное они называли сунья и обозначали его жирной точкой. Это название и знак использовались и для нуля. Вероятно, неизвестное, пока не было найдено его значение, математики принимали за «пустое место».
Позже — в средневековый период— в Индии математика получила дальнейшее развитие. В этот период нуль стали обозначать кружком; слагаемые записывали рядом поставленными числами без отделения их каким-либо знаком. Вычитание стали обозначать точкой, которую располагали над вычитаемым. Делитель записывали под делимым. Умножение обозначали слогом бха, что означало слово бхавита, т. е. «произведение». Неизвестное стали называть йаватават и обозначали первыми буквами этого слова — йа. Второе неизвестное обозначали слогом ка. Запись йа бха ка означала: х * у.
При решении задач индийские математики пользовались правилом положения. Вслед за ними его стали применять математики Ближнего и Среднего Востока. В истории развития алгебры в первой половине IX в. огромную роль сыграл трактат аль-Хорезми, в котором решение уравнений рассматривалось не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики.
Абу Абдалах Мухаммед бен Муса аль-Хорезми, т. е. отец Абдала- ха, Мухаммед, сын Мусы из Хорезма, написал сочинение на арабском языке, известное под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). При переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени его сократили и стали писать коротко: algebra, т. е. алгебра.
Аль-Хорезми в своем трактате разъясняет, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Неизвестное автор называет корень. Затем он рассматривает различные виды уравнений и приемы их решения. При этом аль-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую и называет это восстановление, а вычитание равных членов из обеих частей уравнения он называет противопоставление — вальму кабала. Видоизменение слова «аль-джебр» и послужило названием нового раздела математики—алгебра.
Уравнение 5х2=6-2х + 5х2, используя приемы аль-Хорезми, можно решить так: аль-джебр (восстановление) дает 5х2 + 2х = 6 + 5х2; применяя валь-мукабала (противопоставление), получим 2х = 6; х = 6:2; х = 3.
Однако аль-Хорезми еще не пользуется символами и все выкладки записывает словами. Например, уравнение х2 +10х = 39 он выразил бы так: «Квадрат и десять корней его равны девяти дирхемам».
В другом разделе алгебраического трактата аль-Хорезми излагает правила умножения одночленов и двучленов. В заключительных главах его сочинения приведены задачи и рассматриваются способы их решения. Вот одна из его задач: «Работник, месячный заработок которого 10 дирхемов, работал 6 дней. Какова его доля?».
Решение этой задачи сведено к решению уравнения 30:10 = 6:х; х=6-10:30; х = 2 (здесь решение дано в современных обозначениях).
В своем трактате аль-Хорезми рассматривает неизвестное число как величину особого рода, вводит термин корень, свободный член называет дирхем (так в то время называли и денежную единицу). Он распределяет уравнения по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и противопоставления, формулирует правила решения уравнений различных видов.
В рукописях аль-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т. е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом аль-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.
Аль-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд аль-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным. Алгебраический трактат аль-Хорезми послужил началом создания науки алгебры. Он был в числе первых сочинений по математике, переведенных на латинский язык. В то время в Европе все научные труды писали и печатали на латинском языке.
Дата добавления: 2022-01-31; просмотров: 204;