Задачи прошлого, примеры решения задач Л. Ф. Магницкого

В старых учебниках арифметики до XVIII в. описывалось около тридцати различных правил решения задач. При этом обоснования выбора способа их решения не давалось. Ученик должен был заучить правило и строго его придерживаться при выполнении заданий. Вот некоторые правила: фальшивое, тройное, слепое, или девичье, аварийное и др. Запомнить их все и научиться определять, какое правило к какой задаче применимо, было очень трудно. С тех пор, по-видимому, и сложилось у некоторых людей мнение об арифметике как науке сложной и скучной.

Один из наиболее распространенных видов задач, сохранившийся и в современных учебниках, — это задачи на тройное правило, решение которых теперь не представляет большого труда. Вот пример такой задачи: «20 рабочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней?».

При решении этой задачи рассуждаем так: чтобы выполнить работу за 5 дней, рабочих потребуется больше во столько раз, во сколько 30 больше 5, т. е. 30 : 5 = 6. Следовательно, рабочих надо больше в 6 раз, т. е. 20 • 6 = 120 (человек).

Раньше подобные задачи решали иначе. Условие задачи записывали в одну строку, располагая данные в определенном порядке: 5 - 20 - 30, а затем действовали по правилу: перемножь второе и третье и раздели на первое — 20*30 =600; 600:5 = 120. Таким образом, решение сводилось к чисто механическим действиям, но, стоило ошибиться в порядке записи условия, решение оказывалось неверным. Сообразить, в каком порядке записывать числа в строку, должен был сам ученик, и это было наиболее трудным моментом в решении задачи.

Тройное правило было известно уже в Древней Индии. В Западную Европу оно пришло через Среднюю Азию благодаря работам аль-Хорезми. Когда ремесла и торговля стали быстро развиваться (XVI в.), тройное правило получило большую известность. Его стали считать наиболее полезным в жизни и называли золотым правилом или ключом купцов.

Приведем задачу другого характера из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого: «Един человек (муж) выпьет кадь (бочку) пития (кваса) в 14 дней, а со женой выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно есть (т. е. требуется узнать), в колико дней жена его особно выпьет тое же кадь». В наше время такие задачи решают, составляя уравнение или используя дроби, но можно их решать в целых числах.

Будем рассуждать так: если двое выпьют кадь за 10 дней, то две кади они выпьют за 20 дней, а 14 кадей за 10 • 14 = 140 (дней). Но один человек (муж) за 140 дней выпьет только 140 :14 = 10 (кадей). Значит, его жена выпьет за 140 дней 14 - 10 = 4 (кади). А квас из одной кади она будет пить 140 : 4 = 35 дней.

У Магницкого много задач, которые интересны и сейчас. Например: «Найти число, которое при делении на два дает в остатке 1, при делении на три дает в остатке 2, при делении на четыре дает в остатке 3, при делении на пять дает в остатке 4».

Решение. Обратите внимание, что если бы это число было на единицу больше, то на все указанные числа оно разделилось бы без остатка. Поэтому если искомое число будет х, то число х + 1 разделится без остатка на 2, на 3, на 4 и на 5, т. е. оно разделится на произведение этих чисел — на 3 • 4 • 5 = 60 (в этом произведении нет 2, так как 2 входит множителем в 4). Таких чисел, которые делятся на 2, 3, 4, 5, много, а наименьшее из них — это 60. Следовательно, х + 1 = 60, а х = 59. Проверьте это по условию задачи.

Вот еще одна задача Магницкого: «В некоей единой мельнице было три жерновы, и едины жерновы в нощеденствии (сутки) могут смолоти 60 четвертей, а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита (зерна) 81 четверть, желая в скорости (скорее) оно смолоти и посыпа (засыпали) на все три жерновы, и ведательно есть (надо узнать), в колико часов оно жито может смолоться и колико на всякие жерновы достоить мельнику насыпати».

На наш взгляд, математика может стать для любого человека самой увлекательной из наук, если постараться понять ее сущность, значение в повседневной жизни, поинтересоваться путями ее развития.