Счетные таблицы и линейки. Применение считающих чертежей

Большую помощь при вычислениях оказывают таблицы. Впервые таблицы сложения и умножения были составлены и широко применялись в Древнем Вавилоне и Египте. Египетские писцы, которым приходилось производить многочисленные вычисления, умели пользоваться такими таблицами, а некоторые из писцов даже сами их составляли. Нам известно, что в Египте были таблицы для выражения некоторых дробей в виде суммы единичных дробей. Например: это

Подобные таблицы найдены в «папирусе Ахмеса».

Таблицы сложения и вычитания, умножения и деления широко использовались и в дальнейшем при изучении математики. Более пространными таблицами арифметических действий и таблицами более сложными пользуются счетные работники и в наше время. На основе приема, разработанного Эратосфеном, составлены таблицы простых чисел, в которых содержится свыше 100 миллионов чисел. Кроме указанных таблиц математики всех времен и народов разрабатывали более сложные таблицы, которые применяются в астрономии, мореплавании, военных целях и т. д.

С изобретением огнестрельного оружия и использованием крупнокалиберных орудий потребовались точные и трудоемкие расчеты для стрельбы по далеко стоящим целям. Чтобы быстро выполнять такие расчеты (на войне время терять нельзя), потребовались таблицы. Такие таблицы в России были вычислены и составлены математиком П. Л. Чебышевым.

Астрономам для расчета движения Земли, Луны и других небесных тел требовалось производить действия с громадными числами. Чтобы облегчить их работу, были изобретены и вычислены таблицы, которые позволили заменить умножение и деление больших чисел сложением и вычитанием значительно меньших чисел.

В наше время таблицами широко пользуются многие люди. Например, в сберегательных кассах таблицы используют при начислении процентов, в лесном хозяйстве определяют объем древесины с помощью таблиц объема стволов деревьев.

О всех таблицах можно сказать: они облегчают жизнь всем вычислителям.

Счетные линейки. Рассмотрим две одинаковые линейки с миллиметровыми делениями. Пользуясь ими, можно производить сложение и вычитание двузначных чисел. Чтобы сложить два числа, например 23 и 79, надо приложить нулевое деление первой линейки к метке 23 на второй линейке. Тогда против деления 79 мм первой линейки можно прочитать ответ 102 на второй линейке.

Сложение с помощью счетных линеек

Если у вас только одна линейка, то вторую линейку можно начертить на листе бумаги и на ней нанести деления точно такие же, как на первой линейке. Например, чтобы из 82 вычесть 59, надо найти на первой линейке или на чертеже линейки метку 82 и приложить к ней деление 59, отмеченное на второй линейке. Тогда против нулевого деления второй линейки прочитаем на первой линейке (или ее чертеже) ответ 23 (82 — 59 = 23).

Мы рассмотрели в качестве примера простейшие счетные линейки. Подобные и более сложные счетные линейки были изобретены свыше трехсот лет назад. Они имеют различное назначение. В зависимости от этого их конструкция, форма и шкалы (деления) значительно отличаются одна от другой. Кроме прямых есть счетные линейки круговые, В которых деления (шкалы) расположены по окружности.

Во многих случаях счетные линейки можно заменить «считающими» чертежами.

Применение считающих чертежей.Изображение чисел отрезками во многих случаях помогает не только при решении задач, но и при сложных вычислениях, облегчая умственный труд человека. Рассмотрим пример, в котором чертеж позволяет найти приблизительный ответ без вычислений. Во многих задачах довольно часто скорость движения одного предмета задана километрами в час, а для другого предмета скорость выражена метрами в минуту. При решении таких задач одну из скоростей нужно определить в других единицах измерения. Для выражения скорости в одних и тех же измерениях сделаем чертеж. Проведем прямую, отложим на ней равные отрезки, проставим над их концами числа 1,2, 3..., которые будут выражать скорость в километрах в час. Один километр в час составляет 1000 м в 60 мин, или, разделив 1000 на 60, найдем, что 1 км/ч равен м в минуту. Против метки 1 км в час проставим внизу в минуту. Против 2 км/ч - м/мин, против 3 км/ч — м/мин и т. д. Затем измерением найдем значение отрезка скорости в 5 м/мин и нанесем на прямую метки, соответствующие отрезкам 5, 10, 15, 20... метров в минуту.

Теперь у нас получился «считающий» чертеж, который позволит выразить заданное число километров в час в метрах за минуту, и наоборот. Например: точка верхней шкалы стоит над делением 25 нижней шкалы, следовательно, приблизительно составит 25 м/мин. А 35 м/мин — приблизительно

Еще пример. Представьте себя на месте учетчика, который определяет выполнение нормы выработки при вспашке земли. Пусть, например, по плану для трактористов установлена норма выработки пашни в день. Чтобы легче было подсчитывать, сколько норм выполнил тракторист или целая бригада, сделаем чертеж. На листе клетчатой бумаги (лучше взять миллиметровку) проведем из одной точки две прямые (оси) под прямым углом друг к другу. На горизонтальной оси откладываем равные отрезки и против точек, ограничивающих отрезки, запишем числа 0,1,2,3... На вертикальной оси сделаем то же. Для нашего чертежа против числа 45, стоящего на горизонтальной оси, отсчитаем десять делений вверх и поставим точку. Делаем это так потому, что десять норм выработки составляют 45 га. Указанную точку соединим наклонной прямой с начальной точкой отсчета — точкой пересечения осей, у которой стоит 0.

Если бригада трактористов вспахала 36 га, то учетчик должен на горизонтальной оси найти число 36 и подсчитать, на какой высоте, выраженной в масштабных единицах, над этой точкой проходит наклонная прямая. В этом месте она отстоит на 8 единиц от горизонтальной оси. Значит, бригада выполнила 8 норм.

Такие чертежи называют номограммами. Номограмма — слово греческое. В переводе оно означает «черчение закона», или «черчение правила», т. е. изображение закона, или правила, чертежом. Номограммы можно применять во многих случаях вычислений.

Например, когда требуется часто складывать двузначные числа, можно построить следующую номограмму. Проведем на равных расстояниях одна от другой три прямых под углом к четвертой прямой. На крайних прямых отложим равные масштабные единицы. А на средней прямой такие единицы отложим в два раза мельче. Против делений проставим соответствующие числа. Если потребуется сложить, например, 27 и 49, приложим линейку так, чтобы на левой шкале она проходила через деление 27, а на правой — через деление 49. Ответ 76 можно прочитать на средней шкале. Этой номограммой можно воспользоваться и при вычитании двузначных чисел.

Подобные «считающие» чертежи, или номограммы, имеют длинную историю. Уже солнечные часы представляли собой «считающий» чертеж на песке, где роль линии выполняла тень от стержня, воткнутого в землю. Греческие математики Евклид, Аполлоний Пергский и другие выражали числа отрезками. Галилей доказывал открытый им закон ускоренного движения тел с помощью построения своеобразной номограммы. Но в то время этого названия не существовало, да и специальным изучением чертежей для вычислительных целей не занимались. Большой вклад в обоснование графического выражения величин внесли математики Ферма, Декарт и Эйлер.

Значительный интерес к разработке правил построения и применения номограмм при вычислениях у математиков появился в xx в. Первым занялся прямолинейными номограммами в 1843 г. французский математик Л. Лалан. В России изучением метода номограмм занялись лишь в начале xx в. — Н. М. Герсованов (1879— 1950) и особенно Н. А. Глаголев (1888—1945).