Механические колебания. Простые гармонические колебания. Затухающие колебания. Спектры. Резонанс

Колебаниями называются повторяющиеся процессы изменения каких-либо параметров системы (например, перепады температур, биение сердца, движение Луны и т. д.).

Механические колебания — это повторяющиеся движения различных тел (вращение Земли и планет, колебания маятников, камертонов, струн и др.).

Движения могут повторяться через неравномерные промежутки времени (непериодические колебания) и равномерные (постоянные) промежутки времени (периодические колебания).

Периодические колебания лежат в основе создания музыкальных звуков, так как только по периодическим колебаниям слуховая система идентифицирует высоту тона.

Механические колебания — это прежде всего движения тел. Механическим движением тела называется «изменение его положения с течением времени по отношению к другим телам».

Всякие движения описываются с помощью таких понятий, как смещение, скорость и ускорение.

Смещение — это путь (расстояние), пройденный телом за время его движения от какой-то точки отсчета. Любое движение тела можно описать как изменение его положения во времени (t) и в пространстве (х, у, г). Графически это может быть представлено (например, для тел, которые смещаются в одном направлении) в виде линии на плоскости х (t) — в двухмерной системе координат (рис. 2.1.1а). Смещение измеряется в метрах (м).

Если за каждый равный промежуток времени тело смещается на равный отрезок пути, то это равномерное движение. Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью.

Скорость — это путь, пройденный телом в единицу времени. Она определяется как «отношение длины пути к промежутку времени, за который этот путь пройден»:

Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Если постоянно сокращать промежуток времени и каждый раз вычислять скорость как путь, деленый на время, то получится значение мгновенной скорости в данный момент времени в данной точке пути (траектории), которая определяется как производная от смещения по времени: v = dx/ dt.

Скорость — величина векторная, т. е. она может изменяться по величине и направлению. Вектор скорости направлен по касательной к кривой пути (траектории), а модуль (величина) скорости равен тангенсу угла наклона касательной.

Если движение тела происходит с неравномерной скоростью, то для оценки изменения скорости вводится понятие «ускорение».

Ускорение — это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло. Для прямолинейного движения ускорение определяется как:

Если тело движется с постоянной скоростью, то ускорение равно нулю. Если скорость меняется равномерно (равноускоренное движение), то ускорение постоянно: а = const. Если скорость меняется неравномерно, то ускорение определяется как первая производная от скорости (или вторая производная от смещения):

Ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

Например, при свободном падении тела ускорение равно 9,8 м/с², значит, каждую секунду скорость увеличивается на 9,8 м/с.

Для того чтобы тело находилось в движении (в том числе и в колебательном, т. е. поочередно отклонялось и возвращалось в положение равновесия), на него должны воздействовать определенные силы: возвращающая сила, которая стремится вернуть тело в положение равновесия, и сила инерции, стремящаяся удержать тело в том положении — покоя или выбранного движения, — в котором оно находится.

Сила — это действие одного тела на другое, которое вызывает ускорение или деформацию тела, т. е. сила есть причина изменения движения. При рассмотрении механического движения основное влияние оказывают три вида сил: сила упругости, сила трения и сила тяготения (первые две играют основную роль в образовании звуков в музыкальных инструментах). Поскольку приложенная к телу сила может вызвать изменение его скорости (ускорить или замедлить), то она должна быть пропорциональна его ускорению.

В соответствии со вторым законом Ньютона эта связь может быть представлена в виде: F = та (т. е. «сила, воздействующая на объект, равна силе его инерции»), где F — сила, т — масса, а — ускорение тела.

Коэффициент пропорциональности т есть мера того сопротивления, которое тело оказывает изменению его положения, т. е. масса тела есть мера его инерционности (она зависит от объема и состава вещества, т. е. количества молекул в нем). Масса измеряется в килограммах (кг), а сила измеряется в ньютонах (Н).

Сила в один ньютон, воздействуя на массу в один килограмм, вызывает ускорение 1 м/с² : 1 Н = 1 кг • 1 м/с²

Давление — закон Ньютона говорит, как сила действует на объект, приводя его в движение, при этом не имеет значения, как она распределена по объекту (по всей поверхности или в одной точке). При описании звуковых процессов оказывается важным знать, как движущая сила распределена на поверхности тела, поэтому вводится понятие «давление», которое определяется как сила на единицу площади: р = F/S.

Единица измерения — паскаль (Па). Один паскаль равен силе в один ньютон, распределенной на поверхности в один квадратный метр, т. е. 1 Па = 1 Н/м²

Работа — если сила вызвала перемещение тела, то она совершила над ним работу. Работа равна силе, умноженной на расстояние, на которое она переместила тело: . Единица работы — джоуль (Дж). Один джоуль равен работе, совершаемой силой в один ньютон на пути в один метр: 1 Дж = 1 Н х 1 м.

Мощность — определение работы ничего не говорит о времени, за которое она сделана. Для определения скорости выполнения работы введено понятие мощности. Мощность — это работа, выполненная в единицу времени: W = А /t.

Мощность измеряется в ваттах (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с.

Энергия — это мера способности совершать работу, т. е. мера количества работы, которая была произведена над данным объектом или будет совершена им в будущем. Всякое движущееся (колеблющееся) тело обладает кинетической энергией, т. е. способностью совершать работу (двигаться под действием приложенной силы). Энергия движения называется кинетической энергией. Работа силы равна изменению кинетической энергии. Кинетическая энергия тела массой т, движущегося со скоростью v, равна:

Энергия покоя называется потенциальной энергией. Например, тело, поднятое над землей, падая, может совершать работу. Потенциальная энергия тела массой т, поднятого над землей на высоту h, равна: .

Сжатая пружина, разжимаясь, толкает массу, т. е. совершает работу; оттянутая струна обладает потенциальной энергией: если ее отпустить, она будет двигаться, т. е. совершать работу.

Энергия может переходить из одной формы в другую, но не может исчезать — это закон сохранения энергии. Энергия измеряется в джоулях (Дж).