Вынужденные колебания. Резонанс

Все рассмотренные выше виды свободных колебаний относятся к случаю, когда система колеблется свободно, т. е. сила приложена только в начальный момент, а затем ее воздействие прекращено: короткий удар (рояль), щипок (гитара) и др. В этом случае тела (маятник, масса на пружине, струна, мембрана и др.) начинают колебаться на частоте (или частотах) собственных колебаний, которые постепенно затухают. Однако если на колебательную систему начинает действовать периодическая сила с частотой (например, если груз на пружине установить на опору, которая будет вращаться с определенной частотой с помощью рукоятки, или воздействовать на один конец струны с силой определенной частоты), то колебательные процессы будут развиваться значительно сложнее.

В начальный момент груз начнет колебаться со своей собственной частотой эти колебания постепенно затухнут, и установятся колебания с частотой вынуждающей силы Этот период сложения собственных и вынужденных колебаний называется атакой звука. Через некоторое время в системе, на которую действует вынуждающая сила, установятся периодические вынужденные колебания, частота которых совпадает с частотой действующей силы. Колебания эти, несмотря на наличие трения в системе, будут продолжаться до тех пор, пока действует сила, которая постоянно компенсирует энергию, затраченную телом при колебаниях. Такие движения тела называются вынужденными стационарными колебаниями. Наконец, когда сила прекращает свое воздействие, колебания в системе начинают затухать с частотой собственных колебаний. Этот период называется периодом затухания колебаний.

Особым случаем вынужденных колебаний является совпадение периода изменения вынуждающей силы с собственным периодом (частотой) колебательной системы (маятника, струны, груза на пружине).

Совпадение частоты внешней силы, действующей на систему, с частотой собственных колебаний системы называется резонансом. При резонансе амплитуда вынужденных колебаний системы достигает наибольшего значения. Следует подчеркнуть, что явление резонанса может возникать только тогда, когда на тело, совершающее колебания, действует внешняя сила. Если ее частота воздействия совпадет с собственной частотой, то можно сказать, что она действует в резонанс.

Определение резонанса может быть дано следующим образом: «Явление резонанса состоит в резком возрастании амплитуды установившихся вынужденных колебаний, которое имеет место при приближении частоты внешнего гармонического воздействия к частоте одного из собственных колебаний данной колебательной системы».

Уравнение колебания системы с одной степенью свободы при наличии трения (2.5) с учетом воздействия на нее внешней периодической силы может быть записано в виде:

Если ввести принятые ранее обозначения: — собственная частота системы; — коэффициент затухания, то уравнение (2.7) можно переписать в виде:

Решение этого уравнения можно представить следующим образом:

Первый член в формуле (2.8) описывает свободные колебания системы, которые со временем затухают. Второй член представляет собой стационарные вынужденные колебания, амплитуда которых, как видно из формулы (2.8), равна:

Отсюда видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты и амплитуды вынуждающей силы от массы системы т, от собственной частоты системы и от коэффициента затухания у. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при разных значениях коэффициента затухания (добротности) показана на рис. 2.1.15.

Как видно из рис. 2.1.15, по мере приближения частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний амплитуда колебаний резко возрастает и на резонансе, когда как следует из формулы (2.9), она зависит в основном от величины затухания в системе:

Если бы затухание было равно нулю, амплитуда на резонансе стремилась бы к бесконечности.

При дальнейшем повышении частоты возбуждающей силы, когда амплитуда вынужденных колебаний снова уменьшается. Зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней силы называется резонансной кривой. Форма резонансной кривой зависит от величины затухания в системе. Чем больше затухание в системе, тем меньше амплитуда колебаний на резонансе и тем шире резонансная кривая. Ширина резонансной кривой на уровне связана с добротностью системы следующим соотношением: Величина называется полосой пропускания колебательной системы.

Во второй член формулы (2.8) входит также фаза вынужденных колебаний ф,, которая определяет величину фазового сдвига между приложенной силой и смещением системы. Величина этого фазового сдвига определяется как:

Из этого выражения видно, что на частоте резонанса фазовый угол равен (когда частоты становятся равными, стремится к бесконечности — следовательно, угол значит, смещение тела отстает от изменения действующей на него силы на четверть периода.

Как уже было показано выше, установившиеся колебания возникают не сразу. В начальный момент времени в период атаки происходят сложные процессы взаимодействия свободных и вынужденных колебаний в системе. Они зависят от условий, при которых начались колебания: величины затухания в системе; соотношения собственных частот и частот вынуждающей силы. На рис. 2.1.16 показан вид колебаний в период атаки для трех случаев: когда частота вынуждающей силы много меньше частоты собственных колебаний (рис. 2.1.16а); когда (рис. 2.1.166); когда обе частоты близки друг к другу (рис. 2.1.16b) — в этом случае возникают биения (о биениях подробнее в разделе 2.4).

В реальных музыкальных инструментах процесс атаки происходит еще сложнее: поскольку вибраторы и резонаторы (струны, мембраны, деки и др.) имеют много собственных частот, то при воздействии на них вынуждающей силы они в начальный момент начинают колебаться сразу на всех собственных частотах (как на основной частоте, так и на всех обертонах), затем эти колебания затухают, остаются стационарные колебания, после прекращения действия силы происходит спад колебаний также сразу на всех частотах. Поэтому звук, создаваемый реальным музыкальным инструментом, имеет три части: процесс атаки, стационарный процесс, процесс спада (рис. 2.1.17).

Каждый инструмент характеризуется своими временными соотношениями этих частей: например, у щипковых инструментов время атаки 30-120 мс, стационарная часть — 0,02-1 с, время спада 0,2-1 с; в то же время ударные имеют очень короткий период атаки (0,4-4 мс) и т. д. Все эти части имеют очень большое значение для распознавания тембра инструмента, для идентификации музыкального инструмента в ансамбле и т. д.